행렬 이차식 보기

ㄱ. $A ^{2} - 1 - 2 E = 0$이므로 $( A + E ) ^{2} = A ^{2} + 2 A + E$=$( A + 2 E ) + 2 A + E$=$3 ( A + E )$ (참) ㄴ. 행렬 $A$의 역행렬이 존재하므로 양 변의 외쪽에 $A ^{-1}$을 곱하면 $AB = AC$ $A ^{- 1} AB = A ^{- 1} AC$ $\therefore B = C$ (참) ㄷ. 행렬 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right)$라 하면 케일리 헤밀턴의 정리에 의하여 $a + d = 1 , ad - bc = - 2$ 따라서, $\displaystyle A - E = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a - 1 & b \\ c & d - 1 \end{matrix} \end{array} \right)$의 판별식 $D$는 $D = ( a - 1 ) ( d - 1 ) - bc$$= ( ad - bc ) - ( a + d ) + 1$$= - 2$ 이므로 역행렬이 존재한다. 그러므로 $\displaystyle ( A - E ) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\displaystyle ( A - E ) ^{-1} ( A - E ) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = ( A - E ) ^{-1} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\displaystyle \therefore \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \end{array} \right)$ (거짓)