공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 교환 필요충분

문제

역행렬이 존재하는 두 이차 정사각행렬 AA,BB에 대하여 (A+B)(A−B)=A2−B2( A + B ) ( A - B ) = A ^{2} - B ^{2} 이 성립하기 위한 필요충분조건을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, EE는 단위행렬, OO는 영행렬이다.) [4점]

〈 보 기 〉
ㄱ. AB+BA=OA B + B A = O ㄴ. (AB)2=A2B2( A B ) ^{2} = A ^{2} B ^{2} ㄷ. A+B=EA + B = E

①ㄱ②ㄴ③ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 행렬의 성질을 알 수 있다. (A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2( A + B ) ( A - B ) = A ^{2} - AB + BA - B ^{2}=A2−B2= A ^{2} - B ^{2}이면 AB=BAAB = BA이다. ㄱ.AB+BA=OAB + BA = O이면 AB=−BAAB = - BA ㄴ.(AB)2=A2B2( AB ) ^{2} = A ^{2} B ^{2}이면 A(BA)B=A(AB)BA ( BA ) B = A ( AB ) B 에서 A−1A ^{-1},B−1B ^{-1}이 존재하므로 AB=BAAB = BA ㄷ. (반례)A=B=EA = B = E일 때, AB=BAAB = BA이지만 A+B≠EA + B \not = E 따라서, 필요충분조건은 ㄴ 뿐이다.

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#행렬#교환법칙

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