공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 관계식 보기 판정

문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 AB+A2B=EAB + A ^{2} B = E, (A−E)2+B2=O\left( A - E \right) ^{2} + B ^{2} = O 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. BB의 역행렬이 존재한다. ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. (A3−A)2+E=O\left( A ^{3} - A \right) ^{2} + E = O

①ㄴ\text{ㄴ}②ㄷ\text{ㄷ}③ㄱ,ㄴ\text{ㄱ} , \text{ㄴ}④ㄱ,ㄷ\text{ㄱ} , \text{ㄷ}⑤ㄱ,ㄴ,ㄷ\text{ㄱ} , \text{ㄴ} , \text{ㄷ}

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 주어진 행렬의 조건을 이용하여 참, 거짓을 판단할 수 있는가? ㄱ. AB+A2B=EAB + A ^{2} B = E에서 (A+A2)B=E( A + A ^{2} ) B = E이므로 B−1=A+A2B ^{-1} = A + A ^{2}이다. ∴\therefore 참 ㄴ. ㄱ에서 B={A(A+E)}−1=(A+E)−1A−1B = \left\{ A ( A + E ) \right\} ^{-1} = ( A + E ) ^{-1} A ^{-1}이고, B={(A+E)A}−1=A−1(A+E)−1B = \left\{ ( A + E ) A \right\} ^{-1} = A ^{-1} ( A + E ) ^{-1}이므로 AB=AA−1(A+E)−1=(A+E)−1AB = AA ^{-1} ( A + E ) ^{-1} = ( A + E ) ^{-1} BA=(A+E)−1A−1A=(A+E)−1BA = ( A + E ) ^{-1} A ^{-1} A = ( A + E ) ^{-1} ∴AB=BA\therefore AB = BA ∴\therefore 참 ㄷ. (A3−A)2+E( A ^{3} - A ) ^{2} + E={A(A+E)(A−E)}2+E= \left\{ A ( A + E ) ( A - E ) \right\} ^{2} + E ={A(A+E)}2(A−E)2+E= \left\{ A ( A + E ) \right\} ^{2} ( A - E ) ^{2} + E =(B−1)2(A−E)2+E= ( B ^{-1} ) ^{2} ( A - E ) ^{2} + E =(B−1)2{(A−E)2+B2}=O= ( B ^{-1} ) ^{2} \left\{ ( A - E ) ^{2} + B ^{2} \right\} = O ∴\therefore 참 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

태그

#역행렬#행렬의 곱셈

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