행렬 관계식 보기 판정

ㄱ. (참) $2 A ^{2} + AB = E$에서 $A ( 2 A + B ) = E$ $\therefore A ^{- 1} = 2 A + B$ ㄴ. (참) $2 A ^{2} + AB = E$에서 $AB = E - 2 A ^{2} \cdots \cdots \text{㉠}$ $AB + BA = 2 A + E$에서 ㉠을 대입하면 $E - 2 A ^{2} + BA = 2 A + E$ $BA = 2 A ^{2} + 2 A$ 양변의 오른쪽에 $A ^{-1}$를 곱하면 $BAA ^{-1} = 2 A ^{2} A ^{-1} + 2 AA ^{-1}$ $\therefore B = 2 A + 2 E$ [다른 풀이] $AB + BA = 2 A + E \cdots \cdots \text{①}$ $2 A ^{2} + AB = E \cdots \cdots \text{ ②}$ $\text{ ①} - \text{ ②}$에서$BA - 2 A ^{2} = 2 A , ( B - 2 A - 2 E ) A = O$ $A ^{- 1}$이 존재하므로 $B - 2 A - 2 E = O$ $\therefore B = 2 A + 2 E$ ㄷ. (거짓) ㄱ, ㄴ에서 $A ^{-1} = 2 A + B$이고, $B = 2 A + 2 E$이므로 $A ^{-1} = 2 A + ( 2 A + 2 E ) = 4 A + 2 E$ $A ( 4 A + 2 E ) = E$ $4 A ^{2} + 2 A = E \cdots \cdots \text{㉡}$ $( B - E ) ^{2} = ( 2 A + 2 E - E ) ^{2} ( \because \text{ㄴ} )$ $= ( 2 A + E ) ^{2}$$= 4 A ^{2} + 4 A + E$ $= E + 2 A + E ( \because \text{㉡} )$ $= 2 A + 2 E$$= B ( \because \text{ㄴ} )$ 이때, $( B - E ) ^{2} = O$라 가정하면 $B = O$이므로 $( O - E ) ^{2} = O$, 즉 $E = O$가 되어 모순이다. $\therefore ( B - E ) ^{2} \ne O$ 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.