행렬 관계식 보기

ㄱ. $A ^{3} = A ^{2} \cdot A = ( - A ) \cdot A = - A ^{2} = A$(참) ㄴ. $A ^{2} = - A$를 $A ^{2} + B ^{2} = A + E$에 대입하면 $B ^{2} = 2 A + E$이다. 따라서 $AB ^{2} = A ( 2 A + E ) = ( 2 A + E ) A = B ^{2} A$(참) [다른풀이] $B ^{2} = 2 A + E$에서 $AB = BA$이므로 $AB ^{2} = B ^{2} A$가 성립한다. ㄷ. ㄴ에서 $B ^{2} = 2 A + E$이므로 $B ^{4} = ( 2 A + E ) ^{2} = 4 A ^{2} + 4 A + E = E ( \because A ^{2} = - A )$ 즉, $B \cdot B ^{3} = E$이므로 $B$의 역행렬은 $B ^{3}$이다. (참) [다른풀이] $B ^{2} = 2 A + E$이고 $2 A + E$의 역행렬이 존재한다. 따라서 $B ^{2}$의 역행렬이 존재하므로 $B$의 역행렬도 존재한다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.