행렬 관계식 보기

[출제의도] 주어진 관계식을 이용하여 행렬의 연산을 할 수 있는가? ㄱ. $A + B = BABA$이고 $ABA = B + E$에서 $BABA = B ^{2} + B$ 이므로 $A + B = B ^{2} + B$ 에서 $A = B ^{2}$ (참) ㄴ. $ABA = B + E$에서 $B ^{2} BB ^{2} = B + E$ 이므로 $\left( B ^{4} - E \right) B = E$ $\left( A ^{2} - E \right) B = E$ $\therefore B ^{- 1} = A ^{2} - E$ (거짓) ㄷ. ㄱ에서 $A = B ^{2}$이므로 $A + B = \left( BA \right) ^{2}$에서 $A + B = B ^{6}$이고, $A + B = \left( B ^{2} \right) ^{3} = A ^{3}$ $ABA = B + E$에서 $B ^{5} = B + E$ 또한, $A ^{3} = A + B$의 양변에 $A ^{2}$을 곱하면 $A ^{5} = A ^{3} + A ^{2} B$ $= A + B + A ^{2} B$ $= A + B + B ^{5}$ 이므로 $A ^{5} - B ^{5} = A + B$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.