행렬 곱셈 참거짓

ㄱ. $B ^{2} A$$= B ( BA )$$= B ( AC )$ (∵ $BA = AC$) $= ( BA ) C$$= ( AC ) C$ (∵ $BA = AC$) $= AC ^{2}$ (참) ㄴ. $B ^{-1}$이 존재하면 $( AB ) ^{2} = A ^{2} B ^{2}$에서 $( AB ) ^{2} B ^{-1} = A ^{2} B ^{2} B ^{-1}$ $ABA = A ^{2} B$ $BA = AC$이므로 $ABA = A ^{2} C$ ∴ $A ^{2} B = A ^{2} C$ (참) [다른 풀이] $A ^{2} B$$= ( A ^{2} B ^{2} ) B ^{-1}$ $= ( AB ) ^{2} B ^{-1}$ (∵ $( AB ) ^{2} = A ^{2} B ^{2}$) $= ABA$ $= A ( AC )$ (∵ $BA = AC$) $= A ^{2} C$ (참) ㄷ. 행렬 $AC$의 역행렬이 존재하고 $BA = AC$이므로 행렬 $BA$의 역행렬이 존재한다. 따라서 행렬 $A$, $B$ 각각의 역행렬이 존재한다. $( AB ) ^{2} = A ^{2} B ^{2}$에서 $A ^{-1} ( AB ) ^{2} B ^{-1} = A ^{-1} ( A ^{2} B ^{2} ) B ^{-1}$ ∴ $AB = BA$ 그런데 $BA = AC$이므로 $AB = AC$이다. 따라서 $A ^{-1} ( AB ) = A ^{-1} ( AC )$에서 $B = C$이다. (참)