공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 곱 전개

문제

이차정사각행렬 AA, BB가 (A+B)2=(22−1−1)\displaystyle ( A + B ) ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}}, A2+B2=(0−213)\displaystyle A ^{2} + B ^{2} = {\begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}} 을 만족시킬 때, 행렬 AB+BAAB + BA는? [3점] ①(−1−35−2)\displaystyle {\begin{pmatrix} - 1 & - 3 \\ 5 & - 2 \end{pmatrix}}②(15−18)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ - 1 & 8 \end{pmatrix}}③(1784)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}}④(24−2−4)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{pmatrix}}⑤(2−76−2)\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & - 7 \\ 6 & - 2 \end{pmatrix}}

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④

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해설

[출제의도] 행렬의 연산 추론하기 (A+B)2=A2+AB+BA+B2=(22−1−1)\displaystyle ( A + B ) ^{2} = A ^{2} + AB + BA + B ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}}이고 A2+B2=(0−213)\displaystyle A ^{2} + B ^{2} = {\begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}이므로 AB+BA=(A+B)2−(A2+B2)=(22−1−1)−(0−213)=(24−2−4)\displaystyle \begin{aligned} AB + BA & = ( A + B ) ^{2} - ( A ^{2} + B ^{2} ) \\ & = {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}} \\ & = {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{pmatrix}} \end{aligned} 이다. 따라서 AB+BA=(24−2−4)\displaystyle AB + BA = {\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{pmatrix}}이다.

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#행렬의 곱셈

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