공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 곱 그림 보기

문제

이차정사각행렬 AA, BB에 대하여 AB=CAB = C 일 때, 이를 [그림1]과 같이 나타내기로 하자.

AABB
CC

[그림1]

AABB
CC

이와 같은 방법으로 [그림2]의 이차정사각행렬 C1,C2,C3,C4C _{1} , C _{2} , C _{3} , C _{4}와 D1,D2,D3D _{1} , D _{2} , D _{3}을 정의할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, OO는 영행렬, EE는 단위행렬이다.) [3점]

AAAABBAABB
C1C _{1}C2C _{2}C3C _{3}C4C _{4}
D1D _{1}D2D _{2}D3D _{3}
[그림2]

[보기] ㄱ. C1=OC _{1} = O 이면 A=OA = O 이다. ㄴ. C2=C3C _{2} = C _{3} 이면 D2=D3D _{2} = D _{3}이다. ㄷ. D2=ED _{2} = E 이면 D3=ED _{3} = E 이다. ①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. 거짓 [반례] A=(0010)A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right)이라 하면 C1=A2=(0010)(0010)=(0000)C _{1} = A ^{2} = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \right) = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{0} \right) 따라서 C1=OC _{1} = O이지만 A≠OA \neq O이다. ㄴ. 참 C2=ABC _{2} = AB, C3=BAC _{3} = BA, C4=ABC _{4} = AB에서 C2=C3C _{2} = C _{3}이면 AB=BAAB = BA이므로 D2=C2C3=(AB)(BA)=(AB)(AB)D _{2} = C _{2} C _{3} = ( AB ) ( BA ) = ( AB ) ( AB ) =ABAB= ABAB D3=C3C4=(BA)(AB)=(AB)(AB)D _{3} = C _{3} C _{4} = ( BA ) ( AB ) = ( AB ) ( AB ) =ABAB= ABAB ∴ D2=D3D _{2} = D _{3} ㄷ. 참 D2=ABBA=ED _{2} = ABBA = E이면 (AB)−1=BA( AB ) ^{-1} = BA, (BA)−1=AB( BA ) ^{-1} = AB이므로 D3=BAAB=(AB)−1AB=ED _{3} = BAAB = ( AB ) ^{-1} AB = E 그러므로 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

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