행렬 거듭제곱의 합

$x ^{2} + x - 6 = 0$, $( x + 3 ) ( x - 2 ) = 0$ 에서 두 근이 $a , d$ 이므로 $a = - 3 , d = 2$ 또는 $a = 2 , d = - 3$ $x ^{2} - 8 x - 7 = 0$ 에서 두 근이 $b , c$ 이므로 근과 계수와의 관계에 의해 $b + c = 8$, $bc = - 7$ $( 1 )$ $a = - 3 , d = 2$의 경우 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} - 3 & b \\ c & 2 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} - 3 & b \\ c & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 3 & b \\ c & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + bc & - b \\ - c & bc + 4 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} 2 & - b \\ - c & - 3 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{3} = \begin{pmatrix} 2 & - b \\ - c & - 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 3 & b \\ c & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 6 - bc & 0 \\ 0 & - bc - 6 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A + A ^{2} + A ^{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이므로 $A + A ^{2} + A ^{3} + A ^{4} + \cdots + A ^{10} = A$ 따라서 모든 성분의 합은 $7$ $( 2 )$ $a = 2 , d = - 3$의 경우 마찬가지의 방법으로 모든 성분의 합은 $7$ (별해) $x ^{2} + x - 6 = 0$, $( x + 3 ) ( x - 2 ) = 0$ 에서 두 근이 $a , d$ 이므로 $a + d = - 1$ $x ^{2} - 8 x - 7 = 0$ 에서 두 근이 $b , c$ 이므로 근과 계수와의 관계에 의해 $b + c = 8$, $bc = - 7$ 케일리-헤밀턴 공식을 이용하여 풀면 $A ^{2} + A + E = O$ $\displaystyle A + A ^{2} + A ^{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이므로 $A + A ^{2} + A ^{3} + A ^{4} + \cdots + A ^{10} = A$ 따라서 모든 성분의 합은 $7$