행렬 거듭제곱의 합

[출제의도] 행렬을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ $A ^{4} = ( A ^{2} ) ^{2}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \end{pmatrix} = - 4 E$ 이므로 $A ^{6} = A ^{4} A ^{2} = - 4 A ^{2}$, $A ^{8} = ( A ^{4} ) ^{2} = 16 E$, $A ^{10} = A ^{8} A ^{2} = 16 A ^{2}$ ∴ $A ^{2} + A ^{4} + A ^{6} + A ^{8} + A ^{10}$ $= A ^{2} - 4 E - 4 A ^{2} + 16 E + 16 A ^{2}$ $= 13 A ^{2} + 12 E$ 그런데 $A ^{2}$의 모든 성분의 합은 $0$이고 $12 E$의 모든 성분의 합은 $24$이므로 주어진 행렬의 성분의 합은 $0 + 24 = 24$이다.