행렬 거듭제곱과 로그

[출제의도] 행렬의 거듭제곱과 $\displaystyle \sum\limits _{} ^{}$의 성질을 활용하여 로그와 관련된 문제를 해결한다. 행렬 $A$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$에 대하여 $A ^{2}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{2} & 0 \\ 0 & 2 ^{2} \end{pmatrix}$, $A ^{3}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{2} & 0 \\ 0 & 2 ^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{3} & 0 \\ 0 & 2 ^{3} \end{pmatrix}$이므로 $A ^{n}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{n-1} & 0 \\ 0 & 2 ^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 ^{n} & 0 \\ 0 & 2 ^{n} \end{pmatrix}$이 되어 $( 1 , 1 )$성분과 $( 2 , 2 )$성분의 곱 $p _{n}$$= 3 ^{n} \times 2 ^{n}$$= 6 ^{n}$ $\log _{36} p _{1} p _{2} \cdots p _{n}$$= \log _{36} 6 ^{1} \times 6 ^{2} \times \cdots \times 6 ^{n}$ $= \log _{36} 6 ^{1 + 2 + \cdots + n}$ $\displaystyle = \log _{6 ^{2}} 6 ^{\frac{n ( n + 1 )}{2}}$ $\displaystyle = {\frac{n ( n + 1 )}{4}}$$= 105$ 이므로 $n ( n + 1 )$$= 420$$= 20 \times 21$ 따라서 $n = 20$