공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 거듭제곱 성분 합

문제

두 행렬 A=124(1−111)\displaystyle A = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=143(1−331)\displaystyle B = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \begin{pmatrix} 1 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}에 대하여 행렬 A12+B12A ^{12} + B ^{12}의 모든 성분의 합은? [3점] ①00②44③88④1616⑤3232

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④

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해설

A2=12(0−220)\displaystyle A ^{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}이므로 A4=12(−400−4)\displaystyle A ^{4} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \end{pmatrix}=−2E= - 2 E B3=14(−800−8)\displaystyle B ^{3} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \end{pmatrix}=−2E= - 2 E ∴ A12+B12=(A4)3+(B3)4A ^{12} + B ^{12} = ( A ^{4} ) ^{3} + ( B ^{3} ) ^{4}=−8E+16E=8E= - 8 E + 16 E = 8 E 따라서 모든 성분의 합은 8+8=168 + 8 = 16이다.

태그

#행렬의 거듭제곱#단위행렬

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