행렬 거듭제곱 성분 합

[출제의도] 행렬의 곱셈과 규칙성의 이해를 측정한다. $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$에서 $\displaystyle A ^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{3} = A ^{2} A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{4} = A ^{3} A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ⋮ 이상에서 $\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} 1 & & 2 n \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}$임을 알 수 있다. $\displaystyle \therefore A ^{100} = \begin{pmatrix} 1 & & 200 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}$ 따라서 $A ^{100}$의 모든 성분의 합은 $1 + 200 + 0 + 1 = 202$이다.