공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 성분

문제

행렬 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 3 & 4 \\ 6 & 5 \end{matrix} \end{array} \right) ^{50}$ 의 $( 2 , 1 )$ 성분이 $3 ^{n}$ 일 때, $n$ 의 값을 구하시오. [4점]

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100

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해설

$\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}$ 에서 $\displaystyle BC = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 9 & 9 \end{pmatrix} = 9 B$ $BC ^{50} = 9 BC ^{49} = 9 ^{2} BC ^{48} = \cdots = 9 ^{50} B$ 이다. 행렬 $A$ 의 $( 2 , 1 )$ 성분은 $9 ^{50} = 3 ^{100}$ 이므로 $n = 100$ 이다.

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