공통수학1행렬과 그 연산수능 기출아주 기초 (2점~3점 초반)

행렬 거듭제곱 조건

문제

행렬 A=(a−21b)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & - 2 \\ 1 & b \end{pmatrix}}에 대하여 A3=AA ^{3} = A, A4=EA ^{4} = E가 성립할 때, 두 실수 a,ba , b의 곱 aba b의 값은? (단, EE는 단위행렬이다.) [2점] ①−5- 5②−3- 3③11④33⑤55

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②

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해설

A3=AA ^{3} = A의 좌우변에 행렬 AA를 곱하면 A4=A2A ^{4} = A ^{2} ⋯\cdots⋯\cdots㉠\text{㉠} 준식에서 A4=EA ^{4} = E이 성립하므로 A2=EA ^{2} = E이다. A2=(a−21b)(a−21b)=(a2−2−2a−2ba+b−2+b2)\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} a & - 2 \\ 1 & b \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & - 2 \\ 1 & b \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} a ^{2} - 2 & - 2 a - 2 b \\ a + b & - 2 + b ^{2} \end{pmatrix}}=(1001)\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} ∴\therefore a2=3a ^{2} = 3, b2=3b ^{2} = 3, a+b=0a + b = 0 따라서 곱셈변형공식에 의해서 ab=−3ab = - 3

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#행렬의 거듭제곱

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