공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 합

문제

행렬 A=(21−10)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}에 대하여 A+A2+A3+⋯+A100=(abcd)\displaystyle A + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{100} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}일 때, a+b+c+da + b + c + d의 값을 구하시오. (단, An+1=AnAA ^{n + 1} = A ^{n} A) [4점]

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200

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈의 정의를 알고 문제 해결하기 A=(21−10)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix} A2=AA=(21−10)(21−10)=(32−2−1)\displaystyle A ^{2} = AA = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix} A3=A2A=(32−2−1)(21−10)=(43−3−2)\displaystyle A ^{3} = A ^{2} A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ - 3 & - 2 \end{pmatrix} ⋮\vdots An=(n+1n−n−n+1)\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} n + 1 & n \\ - n & - n + 1 \end{pmatrix} 따라서 AnA ^{n}의 성분의 합은 항상 22이다. A+A2+⋯+A100=(abcd)\displaystyle A + A ^{2} + \cdots + A ^{100} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}에서 ∴ a+b+c+d=2×100=200a + b + c + d = 2 \times 100 = 200

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