대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 귀납법

문제

모든 실수 $x$ 에 대하여 행렬 $A ( x )$ 를 $\displaystyle A ( x ) = \begin{pmatrix} x - 1 & & 1 \\ - 1 & & x + 1 \end{pmatrix}$ 이라 하자. 다음은 $n \geq 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\left\{ A ( x ) \right\} ^{n} = A ( x ^{n} ) + ( nx ^{n-1} - 1 ) A ( 0 )$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

		<증명>


	임의의 실수 $x , y$ 에 대하여 $A ( x ) A ( y ) = A ( \text{(가)} ) + \text{(나)} A ( 0 )$ ……………㉠ (ⅰ) $n = 2$ 일 때, ㉠에 의하여 $\left\{ A ( x ) \right\} ^{2} = A ( x ^{2} ) + ( 2 x - 1 ) A ( 0 )$ 이 성립한다 (ⅱ) $n = k$ 일 때, 성립한다고 가정하면 $\left\{ A ( x ) \right\} ^{k} = A ( x ^{k} ) + ( kx ^{k-1} - 1 ) A ( 0 )$ 이다. $n = k$ 일 때, 성립함을 보이자. $\left\{ A ( x ) \right\} ^{k+1} = A ( x ) \left\{ A ( x ) \right\} ^{k}$ $= A ( x ) A ( x ^{k} ) + ( kx ^{k-1} - 1 ) A ( x ) A ( 0 )$ $= A ( x ^{k+1} ) + \left( x ^{k} + x - 1 ) A ( x ) A ( 0 ) + \left( kx ^{k-1} - 1 \right) \left( \text{(다)} \right) \right.$ $= A ( x ^{k+1} ) + \left\{ ( k + 1 ) x ^{k} - 1 \right\} A ( 0 )$ 그러므로 $n = k + 1$ 일 때도 성립한다. 따라서 $n \geq 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

이 증명에서 ㈎~㈐에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) ① $xy$ $x + y - 1$ $A ( 0 )$ ② $xy$ $x + y - 1$ $xA ( 0 )$ ③ $xy$ $x - y + 1$ $A ( 0 )$ ④ $x + y$ $x + y - 1$ $xA ( 0 )$ ⑤ $x + y$ $x - y + 1$ $A ( 0 )$

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②

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[출제의도] 수학적귀납법으로 행렬의 거듭제곱 증명하기 ㈎ $xy$ ㈏ $x + y - 1$ ㈐ $xA ( 0 )$

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