행렬 거듭제곱 곱

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle BA = \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 1 & - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} = - E$이다. 그러므로 $AB = BA$이다. 준식을 정리하면 $B ^{4} A ^{8} = ( BA ) ^{4} A ^{4} = ( - E ) ^{4} A ^{4} = A ^{4}$ 이므로 행렬 $A ^{4}$을 구하자. 행렬 $A$의 거듭제곱을 구하면 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}$ $\displaystyle A ^{4} = {\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 15 & 1 \end{pmatrix}}$ 이므로 행렬 $A ^{4}$의 모든 성분의 합은 $32$이다.