행렬 거듭제곱 보기

$A ( - B ) = E$이므로 $A ^{- 1} = - B$ $BA = - A ^{- 1} A = - E = AB$ ㄱ. $A ^{2} + B ^{2} = \left( A + B \right) ^{2} - AB - BA$ $= 3 E$ (참) ㄴ. 모든 자연수 $n$에 대하여 $A ^{n+2} + B ^{n+2}$ $= \left( A ^{n + 1} + B ^{n + 1} \right) ( A + B ) - A ^{n + 1} B - B ^{n + 1} A$ $= A ^{n + 1} + B ^{n + 1} - A ^{n} AB - B ^{n} BA$ $= A ^{n + 1} + B ^{n + 1} + A ^{n} + B ^{n}$ (참) ㄷ. ㄴ을 이용해서 $A ^{3} + B ^{3} = A ^{2} + B ^{2} + A + B = 3 E + E = 4 E$ $A ^{4} + B ^{4} = A ^{3} + B ^{3} + A ^{2} + B ^{2} = 4 E + 3 E = 7 E$ $A ^{5} + B ^{5} = A ^{4} + B ^{4} + A ^{3} + B ^{3} = 7 E + 4 E = 11 E$ $\vdots$ $A ^{9} + B ^{9} = A ^{8} + B ^{8} + A ^{7} + B ^{7} = 76 E$ (참) [다른 풀이] ㄱ. $B = E - A$이므로 $AB = A ( E - A ) = A - A ^{2} = - E$에서 $A ^{2} = A + E$ … ㉠ 같은 방법으로 $B ^{2} = B + E$ … ㉡ 그러므로 $A ^{2} + B ^{2} = A + E + B + E$ $= ( A + B ) + 2 E = 3 E$ ㄴ. ㉠의 양변에 $A ^{n}$을 곱하면 $A ^{n + 2} = A ^{n + 1} + A ^{n}$ … ㉢ ㉡의 양변에 $B ^{n}$을 곱하면 $B ^{n + 2} = B ^{n + 1} + B ^{n}$ … ㉣ ㉢과 ㉣에서 $A ^{n + 2} + B ^{n + 2} = A ^{n + 1} + B ^{n + 1} + A ^{n} + B ^{n}$