공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 거듭제곱

문제

행렬 A=(2−13−2)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}}에 대하여 행렬 A2+A3A ^{2} + A ^{3}의 모든 성분의 합은? [3점] ①44②55③66④77⑤88

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①

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱 이해하기 A=(2−13−2)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}}에 대하여 A2=(2−13−2)(2−13−2)=(1001)=E\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} = E이다. A2=EA ^{2} = E의 양변에 행렬 AA를 곱하면 A3=AA ^{3} = A이다. 그러므로 A2+A3=E+AA ^{2} + A ^{3} = E + A에서 A+E=(3−13−1)\displaystyle A + E = {\begin{pmatrix} 3 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{pmatrix}}이다. 따라서 모든 성분의 합은 44이다.

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