공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 등식과 연립일차방정식

문제

이차정사각행렬 AA가 A2−4A+E=OA ^{2} - 4 A + E = O, A(01)=(1113)\displaystyle A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 11 \\ 13 \end{matrix} \end{array} \right) 을 만족시킨다. 연립일차방정식 (4E−A)(xy)=(01)\displaystyle ( 4 E - A ) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)의 해를 x=αx = \alpha, y=βy = \beta라 할 때, α+2β\alpha + 2 \beta의 값을 구하시오. (단, EE는 단위행렬이고 OO는 영행렬이다.) [3점]

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37

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해설

[출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 성질 이해하기 A(4E−A)=EA ( 4 E - A ) = E이므로 (4E−A)−1=A( 4 E - A ) ^{-1} = A이다. 따라서 (xy)=(4E−A)−1(01)\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = ( 4 E - A ) ^{-1} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)=A(01)=(1113)\displaystyle = A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 11 \\ 13 \end{matrix} \end{array} \right) 그러므로 α+2β=37\alpha + 2 \beta = 37

태그

#역행렬#연립일차방정식

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