공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 등식과 교환법칙

문제

이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 A2B+A2+B=OA ^{2} B + A ^{2} + B = O 일 때, 옳은 것만을 다음에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고 OO는 영행렬이다.) [3점]

<보 기>
ㄱ. A2+EA ^{2} + E의 역행렬이 존재한다. ㄴ. A2B=BA2A ^{2} B = B A ^{2} ㄷ. A2B2=B2A2A ^{2} B ^{2} = B ^{2} A ^{2}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 추론하기 ㄱ. A2B+A2+B=OA ^{2} B + A ^{2} + B = O에서 (A2+B)(B+E)=E( A ^{2} + B ) ( B + E ) = E 이므로 A2+EA ^{2} + E의 역행렬이 존재한다. (참) ㄴ. (A2+B)(B+E)=E( A ^{2} + B ) ( B + E ) = E이므로 (A2+B)(B+E)=(B+E)(A2+B)( A ^{2} + B ) ( B + E ) = ( B + E ) ( A ^{2} + B )이다. 따라서 A2B=BA2A ^{2} B = BA ^{2}이다. (참) ㄷ. A2B=BA2A ^{2} B = BA ^{2}에서 A2B2=BA2BA ^{2} B ^{2} = BA ^{2} B=B(A2B)=B(BA2)=B2A2= B ( A ^{2} B ) = B ( BA ^{2} ) = B ^{2} A ^{2}이다. (참)

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