행렬 등식 보기 판정

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 판단한다. ㄱ. $AB + A ^{2} = A ( B + A ) = E$ $A ^{-1} = B + A$ 따라서 $A$의 역행렬이 존재한다. (참) ㄴ. $AB + A ^{2} = E$에서 $AB = E - A ^{2}$ … ㉠ ㄱ에서 $A ^{-1} = B + A$이므로 $A ( B + A ) =$$( B + A ) A = E$ $BA + A ^{2} = E$ $BA = E - A ^{2}$ … ㉡ ㉠, ㉡에서 $AB = BA$ (참) ㄷ. ㄴ에서 $AB = BA$이므로 $AB + BA = A ^{2} + B ^{2}$에서 $2 AB = A ^{2} + B ^{2}$ … ㉢ $AB + A ^{2} = E$에서 $A ^{2} = E - AB$ … ㉣ ㉣을 ㉢에 대입하면 $2 AB = E - AB + B ^{2}$ $3 AB - B ^{2} = E$ $( 3 A - B ) B = E$ ∴ $B ^{-1} = 3 A - B$ $p = 3$, $q = - 1$이므로 $p + q = 2$ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.