공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 2A−A2B=E2 A - A ^{2} B = E를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보기>
ㄱ. A−1=2E−ABA ^{-1} = 2 E - AB ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. A=12(E+BA2)\displaystyle A = \frac{1}{2} \left( E + BA ^{2} \right)

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ.A(2E−AB)=E(참)ㄴ.(2E−AB)A=2A−ABA=2A−A2BAAB=ABA∴AB=BA(참)ㄷ.2A=E+A2BA=12(E+BA2)(참)\displaystyle \begin{aligned} \text{ㄱ} . A ( 2 E - AB ) = E ( \text{참} ) \\ \\ \text{ㄴ} . ( 2 E - AB ) A = 2 A - ABA = 2 A - A ^{2} B \\ AAB = ABA \therefore AB = BA ( \text{참} ) \\ \\ \text{ㄷ} . 2 A = E + A ^{2} B A = \frac{1}{2} ( E + BA ^{2} ) ( \text{참} ) \end{aligned} ∴ㄱ,ㄴ,ㄷ\therefore \text{ㄱ} , \text{ㄴ} , \text{ㄷ}

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