공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 A−2B=E,A2=2A+EA - 2 B = E , A ^{2} = 2 A + E 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. AB=BAA B = BA ㄴ. B−1=A−EB ^{- 1} = A - E ㄷ. B(A−A−1)B−1=2EB ( A - A ^{-1} ) B ^{-1} = 2 E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 성질 추론하기 B=12(A−E)\displaystyle B = \frac{1}{2} ( A - E )이므로 ㄱ. AB=12A(A−E)=12A2−12A\displaystyle AB = \frac{1}{2} A ( A - E ) = \frac{1}{2} A ^{2} - \frac{1}{2} A BA=12(A−E)A=12A2−12A\displaystyle BA = \frac{1}{2} ( A - E ) A = \frac{1}{2} A ^{2} - \frac{1}{2} A ∴AB=BA\therefore AB = BA (참) ㄴ. A2−2A=EA ^{2} - 2 A = E 이므로 A2−2A+E=(A−E)2=2EA ^{2} - 2 A + E = ( A - E ) ^{2} = 2 E 12(A−E)(A−E)=B(A−E)=E\displaystyle \frac{1}{2} ( A - E ) ( A - E ) = B ( A - E ) = E ∴B−1=A−E\therefore B ^{-1} = A - E (참) ㄷ. A−1=A−2EA ^{-1} = A - 2 E 이므로 B(A−A−1)B−1=B(2E)B−1=2EB ( A - A ^{- 1} ) B ^{- 1} = B ( 2 E ) B ^{- 1} = 2 E (참)

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