공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 보기 판정

문제

이차정사각행렬 A,B,CA , B , C에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은 ? (단, OO는 영행렬이고 EE는 단위행렬이다.) [3점] ㄱ. A2B=EA ^{2} B = E이면 ABA=EABA = E이다. ㄴ. A+B+C=EA + B + C = E 이면 AB−BA=AC−CAAB - BA = AC - CA이다. ㄷ. A3+A+E=OA ^{3} + A + E = O일 때, AA의 역행렬은 존재한다. <보기>

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

ㄱ. A2B=A(AB)=E\mathrm{A} ^{2} \mathrm{B} = \mathrm{A} ( \mathrm{A} B ) = \mathrm{E}이므로 A−1=AB\mathrm{A} ^{-1} = \mathrm{A} B이다. ∴ABA=A−1A=E\therefore \mathrm{A} BA = \mathrm{A} ^{-1} \mathrm{A} = \mathrm{E}(참) ㄴ. A+B+C=E\mathrm{A} + \mathrm{B} + \mathrm{C} = \mathrm{E}에서 B=E−A−C\mathrm{B} = \mathrm{E} - \mathrm{A} - \mathrm{C}이므로 AB−BA=A(E−A−C)−(E−A−C)A=A−A2−AC−A+A2+CA=CA−AC(거짓)\begin{aligned} \mathrm{A} B - \mathrm{B} A & = \mathrm{A} ( \mathrm{E} - \mathrm{A} - \mathrm{C} ) - ( \mathrm{E} - \mathrm{A} - \mathrm{C} ) \mathrm{A} \\ & = \mathrm{A} - \mathrm{A} ^{2} - \mathrm{A} C - \mathrm{A} + \mathrm{A} ^{2} + \mathrm{C} A \\ & = \mathrm{C} A - \mathrm{A} C ( \text{거짓} ) \end{aligned} ㄷ. A3+A+E=O↔−A(A2+E)=E\begin{aligned} \mathrm{A} ^{3} + \mathrm{A} + \mathrm{E} = \mathrm{O} & \leftrightarrow - \mathrm{A} ( \mathrm{A} ^{2} + \mathrm{E} ) = \mathrm{E} \end{aligned} ∴A−1=−A2−E\therefore \mathrm{A} ^{-1} = - \mathrm{A} ^{2} - \mathrm{E}존재 (참)

태그

#역행렬#교환법칙#보기

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