공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 보기 판정

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 A2=A−EA ^{2} = A - E, (AB)2=E( AB ) ^{2} = E를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보기>
ㄱ. AA와 BB는 모두 역행렬을 가진다. ㄴ. BAB=−A2BAB = - A ^{2} ㄷ. B2AB2=A2+B2B ^{2} AB ^{2} = A ^{2} + B ^{2}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

ㄱ. (참) (AB)2=ABAB=E( AB ) ^{2} = ABAB = E에서 A−1=BABA ^{-1} = BAB, B−1=ABAB ^{-1} = ABA이므로 AA와 BB는 모두 역행렬을 가진다. ㄴ. (참) A2=A−EA ^{2} = A - E에서 A(−A+E)=EA ( - A + E ) = E이므로 A−1=−A+EA ^{-1} = - A + E이고 BAB=−A+E=−A2BAB = - A + E = - A ^{2}이다. ㄷ. (참) B2AB2=B(BAB)B=BA−1B=B(−A+E)B=−BAB+B2=A2+B2\begin{aligned} B ^{2} AB ^{2} & = B ( BAB ) B = BA ^{-1} B = B ( - A + E ) B \\ & = - BAB + B ^{2} = A ^{2} + B ^{2} \end{aligned}

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