행렬 보기 판정

[출제의도] 역행렬의 성질을 이해하고 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다. ㄱ. $A ^{2} - BA = E$, $\left( A - B \right) A = E$ ∴ $A ^{- 1} = A - B$ ㄴ. ㄱ에 의하여 $\left( A - B \right) A = E = A ( A - B )$ $A ^{2} - BA = A ^{2} - AB$ $A ^{2} = AB + E$ ∴ $AB = BA$ $\left( A - B + 2 E \right) \left( A - B - 2 E \right) = O$에서 $\left( A - B \right) ^{2} - 4 E ^{2} = O$이고 $AB = BA$이므로 $A ^{2} - 2 AB + B ^{2} - 4 E = O$ ∴ $A ^{2} + B ^{2} = 2 AB + 4 E$ ㄷ. ㄱ에서 $\left( A - B \right) ^{- 1} = A$이고, ㄴ의 $\left( A - B \right) ^{2} = 4 E$에서 $\displaystyle \left( A - B \right) ^{- 1} = \frac{1}{4} \left( A - B \right)$ 역행렬을 가지는 행렬의 역행렬은 유일하므로 $\left( A - B \right) ^{- 1} =$$\displaystyle A = \frac{1}{4} \left( A - B \right)$ ∴ $B = - 3 A$ 따라서 $B$의 모든 성분의 합은 $A$의 모든 성분의 합에 $- 3$을 곱한 값과 같으므로 $A$의 모든 성분의 합이 $2$이면 $B$의 모든 성분의 합은 $- 6$이다. 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄷ. $( A - B ) ^{-1} = A$이고 $A ^{2} = BA + E$이므로 $A ^{2} = BA + E$을 $A ^{2} + B ^{2} = 2 AB + 4 E$에 대입하면 $BA + E + B ^{2} = 2 AB + 4 E$ $B ^{2} = AB + 3 E$ (∵ $AB = BA$) $( A - B ) B = - 3 E$ ∴ $\displaystyle A = \left( A - B \right) ^{- 1} = - \frac{1}{3} B$ ∴ $B = - 3 A$