공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 보기 판단

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 A+2B=EA + 2 B = E, AB+BA=2EAB + BA = 2 E 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

보 기
ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. B−EB - E의 역행렬이 존재한다. ㄷ. (A+B)2=4B4\left( A + B \right) ^{2} = 4 B ^{4}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. A+2B=EA + 2 B = E이므로 A=−2B+EA = - 2 B + E AB=(−2B+E)B=−2B2+BAB = \left( - 2 B + E \right) B = - 2 B ^{2} + B BA=B(−2B+E)=−2B2+BBA = B \left( - 2 B + E \right) = - 2 B ^{2} + B ∴\therefore AB=BAAB = BA (참) ㄴ. ㄱ에서 AB=EAB = E (−2B+E)B=E( - 2 B + E ) B = E −2B2+B=E- 2 B ^{2} + B = E 2B2−B+E=O2 B ^{2} - B + E = O (단, OO는 영행렬이다.) 2B2−B−E=−2E2 B ^{2} - B - E = - 2 E (B−E)(2B+E)=−2E( B - E ) ( 2 B + E ) = - 2 E −12(B−E)(2B+E)=E\displaystyle - \frac{1}{2} \left( B - E \right) \left( 2 B + E \right) = E이므로 B−EB - E의 역행렬이 존재한다. (참) ㄷ. A+2B=EA + 2 B = E에서 A+B=E−BA + B = E - B (A+B)2=(E−B)2=(−2B2)2=4B4( A + B ) ^{2} = ( E - B ) ^{2} = \left( - 2 B ^{2} \right) ^{2} = 4 B ^{4} (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

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