행렬 보기 판단

[출제의도] 행렬의 성질 추론하기 ㄱ. $B ^{2} = A + E$를 $B ^{4} = A + 2 E$에 대입하면 $( A + E ) ^{2} = A + 2 E$이다. 따라서 $A ^{2} + A = E$이다. (참) ㄴ. $B ^{2} - A = E$에서 $B \left( B ^{2} - A \right) = B$이므로 $BA = B ^{3} - B$이다. 같은 방법으로 $\left( B ^{2} - A \right) B = B$이므로 $AB = B ^{3} - B$이다. 따라서 $AB = BA$이다.(참) ㄷ. $A ^{2} + A = E$에서 $A ( A + E ) = E$이고 $B ^{2} = A + E$이므로 $AB ^{2} = E$이다. 따라서 $AB$의 역행렬은 $B$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른풀이] ㄷ. $A ^{2} + A = E$이므로 $A$는 역행렬을 가진다. 한편, $A = B ^{2} - E$를 $B ^{4} = A + 2 E$에 대입하여 정리하면 $B ^{4} - B ^{2} = E$, 즉, $B \left( B ^{3} - B \right) = E$이다. 그러므로 $B$도 역행렬을 가진다. 따라서 행렬 $AB$의 역행렬이 존재한다. (참)