행렬 보기 판단

먼저, 두 실수 $a$와 $b$가 0이 아니라는 문제의 조건에 주목하여 보기의 내용을 하나씩 검증한다. ㄱ. $\displaystyle A - B = \begin{pmatrix} 1 a \\ 0 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 0 \\ b 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 a \\ - b 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle ( A - B ) ^{2} = \begin{pmatrix} 0 a \\ - b 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 a \\ - b 0 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} - ab 0 \\ 0 - ab \end{pmatrix} = - abE$ 따라서, ㄱ은 (거짓) ㄴ. 두 실수 $a$와 $b$가 0이 아니므로, 주어진 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 a \\ 0 1 \end{pmatrix}$에서, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면, $A ^{2} - 2 A + E = O$이 된다. 따라서, $2 A - A ^{2} = A ( 2 E - A ) = E$ 그러므로, $A ^{- 1} = 2 E - A$ 따라서, ㄴ은 (참) ㄷ. ㄴ으로부터, $A + A ^{- 1} = 2 E$가 된다. 역시 두 실수 $a$와 $b$가 0이 아니므로, 주어진 행렬 $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 0 \\ b 1 \end{pmatrix}$에서, 케일리-해밀턴 정리를 적용하면, $B ^{2} - 2 B + E = O$이 된다. $B ( 2 E - B ) = E$이므로, $B ^{- 1} = 2 E - B$가 되어, ㄴ에서 확인한 것과 마찬가지로, $B + B ^{- 1} = 2 E$ ∴ $A + A ^{- 1} = B + B ^{- 1} = 2 E$ (참)