공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 보기 판별

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 A2+BA=EA ^{2} + BA = E, BA+B2=A−EBA + B ^{2} = A - E 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. AA의 역행렬이 존재한다. ㄴ. (AB)2( AB ) ^{2}=A2B2= A ^{2} B ^{2} ㄷ. A3=2EA ^{3} = 2 E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 행렬의 참, 거짓을 추론한다. ㄱ. (A+B)A( A + B ) A=E= E이므로 A−1A ^{-1}=A+B= A + B (참) ㄴ. A(A+B)A ( A + B )=(A+B)A= ( A + B ) A=E= E이므로 A2+ABA ^{2} + AB=A2+BA= A ^{2} + BAABAB=BA= BA이므로 (AB)2( AB ) ^{2}=ABAB= ABAB=AABB= AABB=A2B2= A ^{2} B ^{2} (참) ㄷ. B(A+B)B ( A + B )=A−E= A - E이고 (A+B)−1( A + B ) ^{-1}=A= A이므로 BB=(A−E)A= ( A - E ) A=A2−A= A ^{2} - A 그러므로 A2+(A2−A)AA ^{2} + ( A ^{2} - A ) A=E= E에서 A3A ^{3}=E= E (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

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