공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 AB+A+B=2E,A3+E=OAB + A + B = 2 E , A ^{3} + E = O 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [4점] [보 기]

ㄱ. A+EA + E의 역행렬이 존재한다. ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. A+B=−EA + B = - E

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. (A+E)(B+E)=3E\left( A + E \right) \left( B + E \right) = 3 E ∴(A+E)−1=13(B+E)\displaystyle \therefore \left( A + E \right) ^{-1} = \frac{1}{3} \left( B + E \right) ㄴ. (A+E)(B+E)=(B+E)(A+E)=3E\left( A + E \right) \left( B + E \right) = \left( B + E \right) \left( A + E \right) = 3 E ∴AB=BA\therefore AB = BA ㄷ. A3+E=(A+E)(A2−A+E)=OA ^{3} + E = \left( A + E \right) \left( A ^{2} - A + E \right) = O (A+E)−1\left( A + E \right) ^{-1}가 존재하므로 A2−A+E=OA ^{2} - A + E = O이고 A2=A−EA ^{2} = A - E이다. AB+A+B=2EAB + A + B = 2 E에서 A2B+A2+AB=2AA ^{2} B + A ^{2} + AB = 2 A (A−E)B+A−E+AB=2A\left( A - E \right) B + A - E + AB = 2 A 2AB=A+B+E2 AB = A + B + E 2(−A−B+2E)=A+B+E2 \left( - A - B + 2 E \right) = A + B + E 3A+3B−3E=O3 A + 3 B - 3 E = O ∴A+B=E\therefore A + B = E

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