공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 보기 판별

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 B2=B−EB ^{2} = B - E, A2+B=EA ^{2} + B = E 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

보 기
ㄱ. 행렬 BB가 역행렬을 갖는다. ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. A12=EA ^{12} = E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. B2=B−EB ^{2} = B - E에서 B−B2=EB - B ^{2} = E B(E−B)=(E−B)B=EB \left( E - B \right) = \left( E - B \right) B = E이므로 B−1=E−BB ^{- 1} = E - B ∴\therefore 행렬 BB가 역행렬을 갖는다. (참) ㄴ. A2+B=EA ^{2} + B = E에서 B=E−A2B = E - A ^{2}이므로 AB=A−A3AB = A - A ^{3}이고 BA=A−A3BA = A - A ^{3}이다. ∴\therefore AB=BAAB = BA (참) ㄷ. A2=E−BA ^{2} = E - B, B2=B−EB ^{2} = B - E에서 A4=(E−B)2=E−2B+B2A ^{4} = ( E - B ) ^{2} = E - 2 B + B ^{2} =E−2B+B−E=−B= E - 2 B + B - E = - B A6=A4A2=B2−B=−EA ^{6} = A ^{4} A ^{2} = B ^{2} - B = - E ∴\therefore A12=(A6)2=EA ^{12} = \left( A ^{6} \right) ^{2} = E (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

태그

#역행렬#행렬의 거듭제곱

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