공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A,BA , B가 A2+B2=OA ^{2} + B ^{2} = O, (A+B)2=O( A + B ) ^{2} = O 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. AB=−BAA B = - B A ㄴ. A3B3=B3A3A ^{3} B ^{3} = B ^{3} A ^{3} ㄷ. 행렬 A+B+EA + B + E는 역행렬을 갖는다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 이해하고, 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다. ㄱ. (A+B)2=O( A + B ) ^{2} = O에서 (A+B)(A+B)=O( A + B ) ( A + B ) = O A2+AB+BA+B2=OA ^{2} + AB + BA + B ^{2} = O 이때 A2+B2=OA ^{2} + B ^{2} = O이므로 AB+BA=OAB + BA = O ∴ AB=−BAA B = - BA ㄴ. AB=−BAAB = - BA, A2=−B2A ^{2} = - B ^{2}이고, 행렬의 곱셈에 대한 결합법칙이 성립하므로 A3B3A ^{3} B ^{3}=(A2A)(BB2)= \left( A ^{2} A \right) \left( B B ^{2} \right) =(−B2)(AB)(−A2)= \left( - B ^{2} \right) \left( AB \right) \left( - A ^{2} \right) =(−B2)(−BA)(−A2)= \left( - B ^{2} \right) \left( - B A \right) \left( - A ^{2} \right) =−B3A3= - B ^{3} A ^{3} ㄷ. 행렬 A+B+EA + B + E에 행렬 A+B−EA + B - E를 곱하면 (A+B+E)(A+B−E)( A + B + E ) ( A + B - E )=(A+B)2−E2= ( A + B ) ^{2} - E ^{2}=O−E= O - E=−E= - E 즉, (A+B+E)(E−A−B)=E( A + B + E ) ( E - A - B ) = E 따라서 A+B+EA + B + E의 역행렬은 E−A−BE - A - B이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. [참고] 주어진 조건을 만족시키는 행렬의 예 A=(100−1)\displaystyle A = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}, B=(01−10)\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}}

태그

#역행렬#행렬의 곱셈

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