공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 B2+AB=E,B2=B−EB ^{2} + A B = E , B ^{2} = B - E 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. A+2B=EA + 2 B = E ㄷ. A3+A2+3A=2EA ^{3} + A ^{2} + 3 A = 2 E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

B2+AB=EB ^{2} + AB = E ⋯\cdots① B2=B−EB ^{2} = B - E ⋯\cdots ② ㄱ. ① 에서 (B+A)B=E( B + A ) B = E이고 BB와 B+AB + A는 서로 역행렬 관계이므로 B(B+A)=EB ( B + A ) = E ∴AB=BA\therefore AB = BA (참) ㄴ. ②에서 B(E−B)=EB ( E - B ) = E ∴B−1=E−B\therefore B ^{- 1} = E - B ㄱ에서 B−1=B+AB ^{- 1} = B + A 이므로 E−B=B+AE - B = B + A ∴A+2B=E\therefore A + 2 B = E (참) ㄷ. ㄴ에서 B=12(E−A)\displaystyle B = \frac{1}{2} ( E - A ) 이고 ①에서 BB 를 소거하면 A2=−3EA ^{2} = - 3 E A3+A2+3A=−3A+(−3E)+3A=−3EA ^{3} + A ^{2} + 3 A = - 3 A + ( - 3 E ) + 3 A = - 3 E (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

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