공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차정사각행렬 A,BA , B가 A2+AB+A+B=EA ^{2} + AB + A + B = E, A2+3AB+2B2=OA ^{2} + 3 AB + 2 B ^{2} = O 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [3점]

<보 기>
ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. A2=4B2A ^{2} = 4 B ^{2} ㄷ. BB의 역행렬은 2B−E2 B - E이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질을 활용하여 추론하기 ㄱ. A2+AB+A+B=EA ^{2} + AB + A + B = E에서 (A+E)(A+B)=E=(A+B)(A+E)( A + E ) ( A + B ) = E = ( A + B ) ( A + E ) A2+AB+A+B=A2+A+BA+BA ^{2} + AB + A + B = A ^{2} + A + BA + B AB=BAAB = BA (참) ㄴ. AB=BAAB = BA이므로 A2+3AB+2B2=(A+B)(A+2B)=OA ^{2} + 3 AB + 2 B ^{2} = \left( A + B \right) \left( A + 2 B \right) = O (A+B)−1\left( A + B \right) ^{- 1}이 존재하므로 A=−2BA = - 2 B … ㉠ A2=4B2A ^{2} = 4 B ^{2} (참) ㄷ. A2+AB+A+B=EA ^{2} + AB + A + B = E에 ㉠을 대입하면 2B2−B=E2 B ^{2} - B = E이므로 BB의 역행렬은 2B−E2 B - E (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

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