공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 보기 판별

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 AB+E=A2AB + E = A ^{2}, AB3−BA3=6EAB ^{3} - BA ^{3} = 6 E 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

보 기
ㄱ. AA의 역행렬이 존재한다. ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. A2+B2=4EA ^{2} + B ^{2} = 4 E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. AB+E=A2AB + E = A ^{2}에서 A(A−B)=EA \left( A - B \right) = E이므로 A−1=A−BA ^{- 1} = A - B ∴\therefore AA의 역행렬이 존재한다. (참) ㄴ. A(A−B)=(A−B)A=EA \left( A - B \right) = \left( A - B \right) A = E이므로 A2−AB=A2−BAA ^{2} - AB = A ^{2} - BA ∴\therefore AB=BAAB = BA (참) ㄷ. AB3−BA3=(B2−A2)ABAB ^{3} - BA ^{3} = ( B ^{2} - A ^{2} ) AB =(B+A)(B−A)AB= ( B + A ) ( B - A ) AB =−(B+A)B= - ( B + A ) B =−B2−AB= - B ^{2} - AB =−B2−(A2−E)= - B ^{2} - ( A ^{2} - E ) =−B2−A2+E=6E= - B ^{2} - A ^{2} + E = 6 E ∴\therefore A2+B2=−5EA ^{2} + B ^{2} = - 5 E (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

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#행렬#역행렬

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