행렬 보기 판별

[출제의도] 주어진 조건을 활용하여 행렬과 관련된 명제의 참, 거짓을 추론한다. ㄱ. $A ^{2} + AB$$= 2 E$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} A \left( A + B \right)$$= E$이므로 $A$의 역행렬은 존재하고 $A ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( A + B \right)$ (참) ㄴ. ㄱ에서 $A$의 역행렬은 존재하고 역행렬의 정의에 의해 $\displaystyle \frac{1}{2} A \left( A + B \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} ( A + B ) A$$= E$ $A ( A + B )$$= ( A + B ) A$ $A ^{2} + AB$$= A ^{2} + BA$ $AB$$= BA$ $A$의 역행렬이 존재하므로 $BA$$\neq O$ 즉, $BA$$\neq - BA$ 그러므로 $AB$$\neq - BA$ (거짓) ㄷ. $A ^{2} - 2 A$$= B ^{2} + 2 B$, $A ^{2} - B ^{2}$$= 2 ( A + B )$ $AB$$= BA$이므로 $A ^{2} - B ^{2}$$= ( A + B ) ( A - B )$ ㄱ의 풀이에서 $\displaystyle \frac{1}{2} A \left( A + B \right)$$= E$이므로 $( A + B ) ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} A$ $( A + B ) ( A - B )$$= 2 ( A + B )$의 양변에 $( A + B )$의 역행렬 $\displaystyle \frac{1}{2} A$를 곱하면 $A - B$$= 2 E$, $A$$= B + 2 E$ $A ^{2} + AB$$= 2 E$에 $A$$= B + 2 E$를 대입하면 $2 E$$= ( B + 2 E ) ^{2} + ( B + 2 E ) B$ $= 2 B ^{2} + 6 B + 4 E$ 그러므로 $B ^{2}$$= - 3 B - E$ $= - 3 ( A - 2 E ) - E$ $= - 3 A + 5 E$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄷ은 다음과 같이 확인할 수도 있다. $A ^{2}$$= 2 E - AB$$= B ^{2} + 2 B + 2 A$ $B ^{2} + 2 B + 2 A + AB$$= 2 E$ $( A + B ) ( B + 2 E )$$= 2 E$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( B + 2 E \right)$$= \left( A + B \right) ^{- 1}$ ㄱ의 풀이에서 $\displaystyle \frac{1}{2} A \left( A + B \right)$$= E$이므로 $( A + B ) ^{- 1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} A$ 즉, $A$$= B + 2 E$ $A ^{2} + AB$$= 2 E$에 $B$$= A - 2 E$를 대입하면 $A ^{2} + A ( A - 2 E )$$= 2 E$ $2 A ^{2} - 2 A$$= 2 E$ $A ^{2}$$= A + E$ 그러므로 $B ^{2}$$= \left( A - 2 E \right) ^{2}$ $= A ^{2} - 4 A + 4 E$ $= \left( A + E \right) - 4 A + 4 E$ $= - 3 A + 5 E$