행렬 보기

ㄱ. $( A + 2 B ) ( 2 A - B ) = E$이므로 $( A + 2 B ) ^{-1} = 2 A - B$이다. ∴ $( 2 A - B ) ( A + 2 B ) = E$ $( A + 2 B ) ( 2 A - B )$$= ( 2 A - B ) ( A + 2 B )$이므로 $AB = BA$ ∴ $BA = O$ (참) ㄴ. $( A + 2 B ) ( 2 A - B ) = E$에서 $2 A ^{2} - 2 B ^{2} = E$ $2 ( A + B ) ( A - B ) = E$ ∴ $( A + B ) ^{-1} = 2 ( A - B )$ (참) ㄷ. ㄴ에서 $2 A ^{2} - 2 B ^{2} = E$ 즉, $\displaystyle A ^{2} = \frac{1}{2} E + B ^{2}$이므로 $\displaystyle A ^{2} + B ^{2} = \frac{1}{2} E$이면 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} E + B ^{2} \right) + B ^{2} = \frac{1}{2} E$ ∴ $B ^{2} = O$ 따라서 $\displaystyle A ^{2} = \frac{1}{2} E + B ^{2} = \frac{1}{2} E$이므로 행렬 $A$의 역행렬이 존재한다. 따라서 $AB = O$에서 $B = O$이다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.