행렬 보기

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. $ABA - A ^{2} = E$에서 $\left( AB - A \right) A = E$ $\cdots \cdots$㉠ $A \left( BA - A \right) = E$이고 양변에 $AB - A$를 곱하면 $\left( AB - A \right) A \left( BA - A \right) = AB - A$ $BA - A = AB - A$ $\therefore AB = BA$ (참) ㄴ. $AB - A = - B$이므로 ㉠에서 $- BA = E$ $AB = BA$이므로 $A ^{3} B ^{3} = \left( AB \right) ^{3} = - E$ (거짓) ㄷ. $AB = - E$이므로 $ABA - A ^{2} = E$에서 $A ^{2} + A + E = O$ $\cdots \cdots$㉡ ㉡의 양변에 $A - E$를 곱하면 $\left( A - E \right) \left( A ^{2} + A + E \right) = O$ $\therefore A ^{3} = E$ ㉡에서 $A ^{2} = - A - E$이므로 $\left( A - E \right) ^{2} = A ^{2} - 2 A + E = - 3 A$ $\left( A - E \right) ^{30} = \left( - 3 A \right) ^{15} = - 3 ^{15} E$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ