행렬 보기

[출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 ㄱ. $ABA - A ^{2} = E$에서 $\left( AB - A \right) A = E$ $\cdots \cdots$㉠ $A \left( BA - A \right) = E$이고 양변에 $AB - A$를 곱하면 $\left( AB - A \right) A \left( BA - A \right) = AB - A$ $BA - A = AB - A$ $\therefore AB = BA$ (참) ㄴ. $AB - A = - B$이므로 ㉠에서 $- BA = E$이다. 즉, $AB = BA = - E$ $ABA - A ^{2} = - A - A ^{2} = E$이므로 $A ^{2} + A + E = O$에서 $A ^{3} = E$ $B ^{3} = A ^{3} B ^{3} = ( AB ) ^{3} = ( - E ) ^{3} = - E$ $\therefore A ^{3} + B ^{3} = O$ (거짓) ㄷ. $AB = A - B = - E$에서 $B = A + E$ $( B + E ) ^{2} = ( A + 2 E ) ^{2} = A ^{2} + 4 A + 4 E$ $= ( 4 A ^{2} + 4 A + 4 E ) - 3 A ^{2} = - 3 A ^{2}$ $\therefore ( B + E ) ^{30} = \left( - 3 A ^{2} \right) ^{15} = - 3 ^{15} E$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ