공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 A2−AB=EA ^{2} - AB = E, A2−B2=OA ^{2} - B ^{2} = O 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이고 OO는 영행렬이다.) [3점]

<보 기>
ㄱ. A−1=B−AA ^{- 1} = B - A ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. A+B=OA + B = O

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 행렬을 이용하여 추론하기 ㄱ. A(A−B)=EA \left( A - B \right) = E이므로 A−1=A−BA ^{- 1} = A - B (거짓) ㄴ. ㄱ에 의해 A(A−B)=(A−B)A=EA \left( A - B \right) = \left( A - B \right) A = E이므로 AB=BAAB = BA (참) ㄷ. ㄱ, ㄴ에 의해 A2−B2=(A+B)(A−B)=OA ^{2} - B ^{2} = ( A + B ) ( A - B ) = O, A−B=A−1A - B = A ^{- 1} ∴ A+B=OA + B = O (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

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