공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

두 이차정사각행렬 AA, BB가 A2+A+E=OA ^{2} + A + E = O, B=A−EB = A - E 를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, OO는 영행렬이고, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. A3=EA ^{3} = E ㄴ. AB=BAAB = BA ㄷ. (A+B)(A2+B2)(A4+B4)=−82A−E\left( A ^{} + B ^{} \right) \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \left( A ^{4} + B ^{4} \right) = - 82 A - E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬과 역행렬을 이용하여 추론하기 ㄱ. (A−E)(A2+A+E)=O( A - E ) ( A ^{2} + A + E ) = O, A3=EA ^{3} = E (참) ㄴ. AB=A(A−E)=(A−E)A=BAAB = A ( A - E ) = ( A - E ) A = BA (참) ㄷ. (A+B)(A2+B2)(A4+B4)\left( A + B \right) \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \left( A ^{4} + B ^{4} \right) =E(A+B)(A2+B2)(A4+B4)= E \left( A + B \right) \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \left( A ^{4} + B ^{4} \right) =(A−B)(A+B)(A2+B2)(A4+B4)= \left( A - B \right) \left( A + B \right) \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \left( A ^{4} + B ^{4} \right) =A8−B8= A ^{8} - B ^{8} A8=(A3)2A2=E2A2=A2=−A−EA ^{8} = ( A ^{3} ) ^{2} A ^{2} = E ^{2} A ^{2} = A ^{2} = - A - E B2=(A−E)2=A2−2A+E=−3AB ^{2} = ( A - E ) ^{2} = A ^{2} - 2 A + E = - 3 A B8=(B2)4=(−3A)4B ^{8} = ( B ^{2} ) ^{4} = ( - 3 A ) ^{4} =81A4=81A3A=81A= 81 A ^{4} = 81 A ^{3} A = 81 A ∴ (A+B)(A2+B2)(A4+B4)\left( A + B \right) \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \left( A ^{4} + B ^{4} \right) =(−A−E)−81A=−82A−E= ( - A - E ) - 81 A = - 82 A - E (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

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