공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

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문제

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 AA, BB가 A+B=2EA + B = 2 E, B2+2AB+5A=4EB ^{2} + 2 AB + 5 A = 4 E 를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. AB=BAAB = BA ㄴ. BB의 역행렬이 존재한다. ㄷ. BA2+AB2=−12EBA ^{2} + AB ^{2} = - 12 E

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 주어진 조건을 이용하여 행렬의 참, 거짓을 추론한다. ㄱ. BB=2E−A= 2 E - A에서 ABAB=A(2E−A)= A ( 2 E - A )=2A−A2= 2 A - A ^{2} BABA=(2E−A)A= ( 2 E - A ) A=2A−A2= 2 A - A ^{2} ∴\thereforeABAB=BA= BA (참) ㄴ. AA=2E−B= 2 E - B를 B2+2AB+5AB ^{2} + 2 AB + 5 A=4E= 4 E에 대입하여 정리하면 B2+BB ^{2} + B=6E= 6 E ∴\thereforeB−1B ^{- 1}=16(B+E)\displaystyle = \frac{1}{6} ( B + E ) (참) ㄷ. BA2+AB2BA ^{2} + AB ^{2}=AB(A+B)= AB ( A + B )=2AB= 2 AB 2AB2 AB=−B2−5A+4E= - B ^{2} - 5 A + 4 E =−6E+B−5(2E−B)+4E= - 6 E + B - 5 ( 2 E - B ) + 4 E=6B−12E= 6 B - 12 E BB는 역행렬이 존재하므로 영행렬이 아니다. ∴\therefore2AB2 AB≠−12E\neq - 12 E (거짓)

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