공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A,BA , B에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, OO는 영행렬이고, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보 기>
ㄱ. AB=OAB = O이면 A2B2=OA ^{2} B ^{2} = O ㄴ. A+B=EA + B = E이면 AB=BAAB = BA ㄷ. A2=OA ^{2} = O이면 행렬 A+EA + E의 역행렬이 존재하지 않는다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. AB=OAB = O이면 A2B2=A(AB)B=AOB=OA ^{2} B ^{2} = A ( AB ) B = AOB = O ∴\therefore참 ㄴ. A+B=EA + B = E에서 A(A+B)=AEA ( A + B ) = AE이므로 A2+AB=AA ^{2} + AB = A …① 또 A+B=EA + B = E에서 (A+B)A=EA( A + B ) A = EA이므로 A2+BA=AA ^{2} + BA = A … ② ①, ② 에 의하여 AB=BA=A−A2AB = BA = A - A ^{2} ∴\therefore참 ㄷ. A2=OA ^{2} = O이면 A2−E=−EA ^{2} - E = - E이므로 (A−E)(A+E)=−E( A - E ) ( A + E ) = - E 따라서 A+EA + E의 역행렬이 존재한다. ∴\therefore거짓

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