공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 방정식을 만족하는 성분의 합

문제

$E$ 는 이차단위행렬이고 $2$ 차정사각행렬 $A , B$ 가 $A + 15 B = 5 E , 2 AB + BA = E$ 를 만족시킨다. $\displaystyle 5 A - A ^{2} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 일 때, $a + d$ 의 값은? ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$

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⑤

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해설

주어진 조건으로부터 $\displaystyle B = \frac{1}{15} ( 5 E - A )$ 또한, $2 AB + BA = E$ 이므로 $\displaystyle 2 A \cdot \frac{1}{15} ( 5 E - A ) + \frac{1}{15} ( 5 E - A ) A = E$ $- 3 A ^{2} + 15 A = 15 E$ 따라서, $\displaystyle 5 A - A ^{2} = 5 E = 5 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\therefore a + d = 5 + 5 = 10$

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