공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 방정식을 만족하는 함수값의 곱

문제

역행렬이 존재하는 행렬 AA에 대하여 f(X)=X+X−1f \left( X \right) = X + X ^{- 1}이라 하자. 행렬 AA가 A2+A+E=OA ^{2} + A + E = O 을 만족할 때, f(A)f(A2)f(A22)⋯f(A213)f \left( A \right) f \left( A ^{2} \right) f \left( A ^{2 ^{2}} \right) \cdots f \left( A ^{2 ^{13}} \right)의 값은? (단, EE는 단위행렬, OO는 영행렬이다.) ①EE②−E- E③OO④AA⑤A−A−1A - A ^{- 1}

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① EE

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해설

A2+A+E=OA ^{2} + A + E = O의 양변에 A−1A ^{-1}을 곱하면 A+E+A−1=OA + E + A ^{-1} = O ∴ f(A)=A+A−1=−Ef ( A ) = A + A ^{-1} = - E (A+A−1)2=A2+2E+(A2)−1=E( A + A ^{-1} ) ^{2} = A ^{2} + 2 E + ( A ^{2} ) ^{-1} = E에서 A2+(A2)−1=−EA ^{2} + ( A ^{2} ) ^{-1} = - E ∴ f(A2)=−Ef ( A ^{2} ) = - E 같은 방식으로 f(A22)f ( A ^{2} {}^{2} )=−E= - E, f(A23)f ( A ^{2} {}^{3} )=−E= - E, ⋯ ∴ f(A2n)f ( A ^{2} {}^{n} )=−E= - E (단, nn은 음이 아닌 정수) ∴ f(A)f(A21)f(A22)⋯f(A213)f ( A ) f \left( A ^{2 ^{1}} \right) f \left( A ^{2 ^{2}} \right) \cdots f \left( A ^{2 ^{13}} \right)=(−E)14= ( - E ) ^{14}=E= E

태그

#역행렬#단위행렬#행렬의 거듭제곱

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