행렬 방정식을 만족하는 행렬의 개수

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라고 하면 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a ^{2} + bc & b ( a + d ) \\ c ( a + d ) & d ^{2} + bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}$ 이므로 아래와 같이 네 가지 조건이 얻어진다. $a ^{2} + bc = 1 \cdots$(1), $b ( a + d ) = 0 \cdots$(2), $c ( a + d ) = 0 \cdots$(3), $bc + d ^{2} = - 1 \cdots$(4) $i ) a + d \ne 0$인 경우 조건 (2)와 (3)으로부터 $b = c = 0$, 조건 (4)에서 $d ^{2} = - 1$이므로 실수해가 존재하지 않는다. $ii ) a + d = 0$ 즉, $a = - d$인 경우 조건 (1)과 (4)로부터 $a ^{2} + bc = 1$, $d ^{2} + bc = a ^{2} + bc = - 1$ 따라서, 만족하는 해가 존재하지 않는다.